|
Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
 ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ.
Åñëè
ïåðåìåííàÿ
èçìåíÿåòñÿ
íåïðåðûâíî è
ìîíîòîííî,
òî
ïðèíèìàåìîå
åþ
ìíîæåñòâî
çíà÷åíèé
åñòü
èíòåðâàë, à
ïðåäåë — åãî
ïðàâàÿ èëè
ëåâàÿ òî÷êà.
Êàê ãîâîðèë
Í. Í. Ëóçèí, â
ýòîì ñëó÷àå
ïðåäåë
ÿâëÿåòñÿ
“îïòè÷åñêèì”:
îí âèäåí
ãëàçîì. Åñëè
æå ñíÿòü ýòè
îãðàíè÷åíèÿ,
äîïóñòèòü
ïðåðûâíîå è,
ãëàâíîå,
êîëåáëþùååñÿ
ïðèáëèæåíèå
ïåðåìåííîé ê
å¸ ïðåäåëó, òî,
âîîáùå
ãîâîðÿ, ïðåäåë
òåðÿåòñÿ; îí
“ãëóáîêî
ñïðÿòàí
ñðåäè
çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ
ïåðåìåííîé”.
 ñâÿçè ñ
ýòèì
âîçíèêàåò
âîïðîñ: ïðè
âûïîëíåíèè
êàêèõ
óñëîâèé
ïåðåìåííàÿ
èìååò ïðåäåë?
Èçâåñòíî,
÷òî è ýòîò
âîïðîñ
ïîëíîñòüþ
ðåøèë Êîøè.
Îí äîêàçàë,
÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
õ1, õ2, ., õ
ï, . èìååò
ïðåäåë òîãäà
è òîëüêî
òîãäà, êîãäà
äëÿ âñÿêîãî
ïîëîæèòåëüíîãî
e, êàê óãîäíî
ìàëîãî,
ìîæíî íàéòè
òàêîå
íàòóðàëüíîå
÷èñëî ï, ÷òî
äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî
÷èñëà ò
|xn+m–xn|<e.
Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.
Êîãäà ñòàëè
ðàçðàáàòûâàòü
íîâóþ
òåîðèþ
ïðåäåëîâ,
ïîíÿòèå ðÿäà,
ðàíåå íå
ðàñ÷ëåíÿåìîå
íà ðÿäû
ñõîäÿùèåñÿ
è
íåñõîäÿùèåñÿ,
ïîëó÷èëî ïî
ýòèì
ïðèçíàêàì
îñíîâíîå
ïîäðàçäåëåíèå.
Áëàãîäàðÿ
ýòîìó
óäàëîñü
óñòàíîâèòü
òî÷íîå
ïîíÿòèå
ñóììû ðÿäà è
íàïðàâèòü ïî
ïðàâèëüíîìó
ïóòè
ðàçðàáîòêó
òåîðèè
÷èñëîâûõ è
ñòåïåííûõ
ðÿäîâ. Â
äàëüíåéøåì,
â ñâÿçè ñ
ðàçðàáîòêîé
ïðîáëåì
òåîðèè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ðÿäîâ, áûëî
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
