5. Проблема существования в математике

 êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé.

1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).

2.  òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì.

3. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå.

Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì.

×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà.

Äîêàæåì, ÷òî

êàêîâû áû íè

áûëè

íàòóðàëüíûå

÷èñëà Ð1, ., Ð

ï,

ñóùåñòâóåò

íàòóðàëüíîå

÷èñëî Ð,

âçàèìíî

ïðîñòîå ñ

êàæäûì èç

ýòèõ ÷èñåë.

Ðàññìîòðèì

÷èñëî Ð=Ð1*.*Ð

ï+1; ïðè

äåëåíèè íà

ëþáîå èç

÷èñåë Ð1, ., Ð

ï ýòî ÷èñëî

äàåò â

îñòàòêå 1.

Ñëåäîâàòåëüíî,

îíî âçàèìíî

ïðîñòîå ñ

êàæäûì èç

÷èñåë Ð1, ., Ð

ï. Èòàê,

÷èñëî Ð

ñóùåñòâóåò.

Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.

Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü (âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35