|
 20-õ è 30-õ ãîäàõ
ÕÕ âåêà ïîëå
ïðèëîæåíèÿ
àêñèîìû
Öåðìåëî
çíà÷èòåëüíî
ðàñøèðèëîñü.
Ìîæíî,
íàïðèìåð,
óêàçàòü íà
èññëåäîâàíèÿ
Áèðêãîôà
ñèñòåì
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, â
êîòîðûõ îí
ïðèìåíÿë
òðàíñôèíèòíóþ
èíäóêöèþ.
Îñîáåííî
âàæíî
óêàçàòü íà
òåîðèþ
ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ,
êîòîðóþ Æ.
Àäàìàð â
íà÷àëå 30-õ
ãîäîâ
íàçûâàë
íàèáîëåå
ñèëüíûì
ìåòîäîì
èññëåäîâàíèÿ
ñîâðåìåííîé
ìàòåìàòèêè.
Òåîðèÿ
ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ
ðàçâèâàåòñÿ
íà áàçå
îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
è ïîëüçóåòñÿ
àêñèîìîé
Öåðìåëî äëÿ
óñòàíîâëåíèÿ
íåêîòîðûõ
âàæíåéøèõ
ñâîèõ
ïðåäëîæåíèé.
Øèðîêîå ïîëå
äëÿ
ïðèìåíåíèÿ
àêñèîìû
Öåðìåëî äàëè
àëãåáðà è
òîïîëîãèÿ.
Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè.
Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì
âñå ôóíêöèè
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî
õ,
îïðåäåëåííûå
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíûå
íà ýòîì
ñåãìåíòå
òîæäåñòâåííî
íóëþ.
Ðàçäåëèì
ýòè ôóíêöèè
íà ïàðû,
îòíîñÿ â
îäíó ïàðó
òàêèå äâå
ôóíêöèè,
êîòîðûå
îòëè÷àþòñÿ
òîëüêî
çíàêîì, ò. å.
ôóíêöèè f(x)ï–f(x).
Ïî àêñèîìå
Öåðìåëî
ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî Ð
, âêëþ÷àþùåå
ïî îäíîé è
òîëüêî îäíîé
ôóíêöèè
êàæäîé ïàðû.
Ñëåäîâàòåëüíî,
ñîãëàñíî
àêñèîìå
Öåðìåëî,
ìîæíî
óòâåðæäàòü
ñóùåñòâîâàíèå
Ð ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî
õ,
îïðåäåëÿåìûõ
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíûõ
íà ýòîì
ñåãìåíòå
òîæäåñòâåííî
íóëþ, òàêîãî,
÷òî
à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f1 è f2 ìíîæåñòâà Ð, âñåãäà  ;
á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ), îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà Ð, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+j=0, ëèáî f–j=0 äëÿ ëþáîãî õ,  .
Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ), ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.
Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
