|
“Âñå òàê
íàçûâàåìûå
äîêàçàòåëüñòâà
ïðîòèâ
âîçìîæíîñòè
àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íûõ
÷èñåë,— ïèñàë
Êàíòîð,—
îøèáî÷íû,
ïîòîìó, ÷òî
îíè çàðàíåå
ïðèïèñûâàþò
èëè, ñêîðåå,
íàâÿçûâàþò
ðàññìàòðèâàåìûì
÷èñëàì âñå
ñâîéñòâà
êîíå÷íûõ
÷èñåë. Ìåæäó
òåì,
áåñêîíå÷íûå
÷èñëà — åñëè
òîëüêî èõ
äîëæíî
ìûñëèòü â
êàêîé-íèáóäü
ôîðìå — äîëæíû
îáðàçîâàòü
áëàãîäàðÿ
ñâîåé
ïðîòèâîïîëîæíîñòè
ê êîíå÷íûì
÷èñëàì
ñîâåðøåííî
íîâûé
÷èñëîâîé
âèä,
ñâîéñòâà
êîòîðîãî
âïîëíå
çàâèñÿò îò
ïðèðîäû
âåùåé è
îáðàçóþò
ïðåäìåò
èññëåäîâàíèÿ,
à íå íàøåãî
ïðîèçâîëà
èëè íàøèõ
ïðåäðàññóäêîâ.”
Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ.
3. Парадоксы (антиномии)
теории множеств
Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.
Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ.
Парадокс Бурали-Форти.
Ïóñòü Ð —
ìíîæåñòâî
âñåõ
ïîðÿäêîâûõ
÷èñåë. Ýòî
ìíîæåñòâî
âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî;
ñëåäîâàòåëüíî,
îíî
îïðåäåëÿåò
íåêîòîðîå
îðäèíàðíîå
òðàíñôèíèòíîå
÷èñëî ð.
Åñëè Ðð —
ìíîæåñòâî
ïîðÿäêîâûõ
÷èñåë
ìåíüøå ð, òî
Ðð èìååò
òîò æå
ïîðÿäêîâûé
òèï, ÷òî è Ð.
Íî Ðð —
îòðåçîê
ìíîæåñòâà Ð
,
îïðåäåëÿåìûé
÷èñëîì ð.
Ñëåäîâàòåëüíî
Ð è åãî
îòðåçîê Ðð
ïîäîáíû äðóã
äðóãó. Íî
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
